概率论基础第一章

发布于 2023-10-27  80 次阅读


决定性现象

  • 必然事件:一定发生的事情
  • 不可能事件:一定不发生的事情

随机现象

随机事件

实验结果具有偶然性,条件不变得到结果也可能不同,简称为“事件”

但是其实偶然的事务也蕴含着某种特定的规律

频率与概率

频率

定义

某N次实验中出现结果A一共n次,则称A在此次实验出现的频率为

FN(A)=n/N

在次数较少的实验中也许难以观测到某个结果的规律,但是当实验次数足够多,实验结果将呈现明显的规律性,称为——频率稳定性。某个随机事件出现的频率在某个固定的常数附近摆动,这种规律性称之为统计规律性

性质

  • 非负性
  • 必然发生的事件频率为1
  • 若A和B是不会同时发生的两个随机事件,则A+B表示A和B至少发生一个事件时,应该有F(A+B)=F(A)+F(B),即为频率的可加性。

概率

上述统计规律性,某个随机事件的结果发生的可能性大小是客观存在低,于是我们需要一个可以度量其的概念,于是给出概率这一概念。描述一个事件可能性大小的数P称为随机事件的概率。

当实验次数N足够大的时候,FN会非常接近随机事件发生的概率P,于是此时我们可以用随机事件的频率来近似概率。

样本空间与事件

样本点

某个实验所有可能出现的结果,成为样本点(sample point),一般用w表示

样本空间

所有样本点构成的集合称为样本空间Ω

事件

样本空间的每个子集都能称作事件

∅称为不可能事件

Ω称为必然事件

事件的计算

通过定义样本空间这样的集合,以及定义事件作为样本空间的子集。因此,集合论里面的运算自然衍生到了事件的运算。

首先定义事件的发生(occured):对于事件 A∈Ω ,当进行试验时,我们观察到的结果(output)ω∈Ω ,同时也满足 ω∈A 的条件,那么就称事件 A 发生了。

根据这样的定义,那么对于两个事件 A 和 B,满足 A⊆B,那么如果 A 发生,必然有 B 发生。

如果 A⊆B 且 B⊆A,显然根据集合论,A=B。此时,如果事件 A 发生,那么事件 B 发生;反之亦然。由此引入事件等价的定义。

  • 当事件 A 发生,必然有事件 B 发生;反之亦然。那么称 A 和 B 是等价的(equivalent),写作 A=B。
  • 集合论里面全集空集的概念,对应到事件中,就称为必然事件(certain event)不可能事件(impossible event)
  • 事件 A 和 B 的并(union)定义为 A∪B,其含义是 A 或 B 发生
  • 事件 A 和 B 的交(intersection)定义为 A∩B 或 AB,其含义是 A 且 B 发生
  • A-B表示包含在A中而不包含在B中的样本点全体,称为A与B的差

古典概型

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最后更新于 2023-10-27